43. Сколько корней на отрезке [0; 5π] имеет уравнение: sin2x = (cosx – sinx)2? |
|
A) |
2 |
B) |
8 |
C) |
4 |
D) |
10 |
| |
Правильный ответ:
|
D |
| |
Решение: |
Воспользуемся формулой квадрата разности двух чисел и формулой синуса двойного угла: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 sin2α = 2sinα cosα Получаем: sin2x = cos2x - 2sinxcosx + sin2x = (sin2x + cos2x) - sin2x = 1 - sin2x. Здесь применили основное тригонометрическое тождество sin2x + cos2x = 1. Такми образом: sin2x = 1 - sin2x. 2sin2x = 1. sin2x = 1/2. Так как х ∈ [0; 5π], то: 2х ∈ [0; 10π], т.е. расширяем промежуток для более быстрого расчета количества корней. Прямая y = 1/2 пересекает единичную окружность в двух местах, в I и во II четвертях. Так как промежуток [0; 10π] составляет 5 кругов, то 2·5 = 10 корней. |
| |
Категория: |
Тригонометрия |
|
В начало | Предыдущий | Следующий
|
