Подобное задание решается с помощью формул приведения тригонометрических функций. Для этого аргументы раскладываем на слагаемые таким образом, чтобы: - на первом месте были числа, кратные π/2, π, 3π/2, 2π; так как только для этих чисел существуют формулы приведения. - на втором месте оказалось одинаковое для всех выражений число; в данном случае π/8. Выполняем преобразование: sin2 π/8 + cos2 3π/8 + sin2 5π/8 + cos2 7π/8 = sin2π/8 + cos2(4π/8 - π/8) + sin2(4π/8 + π/8) + cos2(8π/8 - π/8) = sin2π/8 + cos2(π/2 - π/8) + sin2(π/2 + π/8) + cos2(π - π/8). Теперь применим следующие формулы приведения: а) cos (π/2 – α) = sinα; б) sin (π/2 + α) = cosα; в) cos (π – α) = –cosα. Получаем: sin2π/8 + sin2π/8 + cos2π/8 + cos2π/8 = 2. Здесь использовали основное тригонометрическое тождество: sin2α + cos2α = 1 |
