Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на данном промежутке, если для всех значений х из этого промежутка справедливо равенство: F`(x) = f(x).

Интеграл от функции f(x) на отрезке [a; b] является разностью первообразных F(b) - F(a). Числа a и b называются пределами интегрирования (a - нижним пределом, b - верхним). Формула Ньютона-Лейбница:

В данном случае нужно найти интеграл на отрезке [2π/3; 2π], т.е. F(2π) - F(2π/3).

1) Для нахождения первообразной F(x) применим формулу:

∫cosxdx = sinx.

Кроме того, учитываем, что если в сложных функциях перед x есть коэффициент k, то перед первообразной функцией появляется 1/k. В данном случае в функции cos(0,25x) коэффициент k = 0,25 = 1/4, значит перед функцией sinx появляется 1/k = 4.

Получаем:

∫cos(0,25x)dx = ∫cos(1/4x)dx = 4sin(1/4x).

2) Подставим вместо х значения 2π/3 и 2π, согласно формуле Ньютона-Лейбница:

4*(sin(1/4*2π) - sin(1/4*2π/3)) = 4*(sin(π/2) - sin(π/6)) = 4*(1 - 1/2) = 4*1/2 = 2.