Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на данном промежутке, если для всех значений х из этого промежутка справедливо равенство: F`(x) = f(x). Интеграл от функции f(x) на отрезке [a; b] является разностью первообразных F(b) - F(a). Числа a и b называются пределами интегрирования (a - нижним пределом, b - верхним). Формула Ньютона-Лейбница: 
В данном случае нужно найти интеграл на отрезке [0; 4], т.е. F(4) - F(0). 1) Для нахождения первообразной F(x) применим формулу: ∫1/xdx = ln|x|. Кроме того, учитываем, что если в сложных функциях перед x есть коэффициент k, то перед первообразной функцией появляется 1/k. В данном случае коэффициент k = 0,5 = 1/2, значит перед функцией появляется 1/k = 2. Получаем: ∫1/(0,5x + 1)dx = 2*ln|0,5x + 1|. 2) Подставим вместо х значения 0 и 4, согласно формуле Ньютона-Лейбница: 2*(ln|0,5*4 + 1| - ln|0,5*0 + 1|) = 2*(ln3 - ln|1|) = 2*(ln3 - 0| = 2ln3 = ln32 = ln9. Дополнительный комментарий: ln|1| = 0. |
