Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на данном промежутке, если для всех значений х из этого промежутка справедливо равенство: F`(x) = f(x).

Интеграл от функции f(x) на отрезке [a; b] является разностью первообразных F(b) - F(a). Числа a и b называются пределами интегрирования (a - нижним пределом, b - верхним). Формула Ньютона-Лейбница:

В данном случае нужно найти интеграл на отрезке [0; 2e], т.е. F(2e) - F(0).

1) Для нахождения первообразной F(x) применим формулу:

∫1/xdx = ln|x|.

Кроме того, учитываем, что если в сложных функциях перед x есть коэффициент k, то перед первообразной функцией появляется 1/k. В данном случае коэффициент k = 0,5 = 1/2, значит перед функцией появляется 1/k = 2.

Получаем:

∫1/(0,5x + 1)dx = 2*ln|0,5x + 1|.

2) Подставим вместо х значения 0 и 2e, согласно формуле Ньютона-Лейбница:

2*(ln|0,5*2e + 1| - ln|0,5*0 + 1|) = 2*(ln|e + 1| - ln|1|) = 2*(ln|e + 1) - 0| = 2ln|e + 1|.

Дополнительный комментарий:

ln|1| = 0.