Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на данном промежутке, если для всех значений х из этого промежутка справедливо равенство: F`(x) = f(x).

В данном случае нужно найти первообразную F(x).

1) Упростим функцию:

х + 1 + ctg²x = x + (1 + ctg²x) = x + 1/sin²x (формула приведения для тригонометрической функции).

2) Применим формулы:

а) ∫1/sin²xdx = -ctgx.

б) ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1).

Получаем:

x¹⁺¹/(1+1) - ctgx + C = x²/2 - ctgx + C.

Дополнительный комментарий:

1) Так как у любой функции может быть бесконечное множество первообразных функций, то при нахождении первообразной добавляется произвольная постоянная величина С. То есть первообразная функция f(x) записывается в виде F(x) + C.