Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на данном промежутке, если для всех значений х из этого промежутка справедливо равенство: F`(x) = f(x).

Интеграл от функции f(x) на отрезке [a; b] является разностью первообразных F(b) - F(a). Числа a и b называются пределами интегрирования (a - нижним пределом, b - верхним). Формула Ньютона-Лейбница:

В данном случае нужно найти интеграл на отрезке [0; π/4], т.е. F(π/4) - F(0).

1) Для нахождения первообразной F(x) применим формулы:

1) 1 + tg²x = 1/cos²x (формула приведения для тригонометрической функции).

2) ∫1/cos²xdx = tgx.

Получаем:

∫1/cos²xdx = tgx.

2) Подставим вместо х значения π/4 и 0, согласно формуле Ньютона-Лейбница:

tg(π/4) - tg0 = 1 - 0 = 1.