Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на данном промежутке, если для всех значений х из этого промежутка справедливо равенство: F`(x) = f(x).

Интеграл от функции f(x) на отрезке [a; b] является разностью первообразных F(b) - F(a). Числа a и b называются пределами интегрирования (a - нижним пределом, b - верхним). Формула Ньютона-Лейбница:

В данном случае нужно найти интеграл на отрезке [e; 2e], т.е. F(2e) - F(2e).

1) Для нахождения первообразной F(x) применим формулу:

∫1/xdx = ln|x|.

Кроме того, учитываем, что если в сложных функциях перед x есть коэффициент k, то перед первообразной функцией появляется 1/k. В данном случае коэффициент k = 2, значит перед функцией появляется 1/k = 1/2.

Получаем:

∫1/(2x - e)dx = 1/2*ln|2x - e|.

2) Подставим вместо х значения e и 2e, согласно формуле Ньютона-Лейбница:

1/2*(ln|2*2e - e| - ln|2*e - e|) = 1/2*(ln|3e| - ln|e|) = 1/2*(ln3 + lne - lne) = 1/2*ln3 = ln√3.