Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на данном промежутке, если для всех значений х из этого промежутка справедливо равенство: F`(x) = f(x).

В данном случае нужно найти первообразную F(x).

Модифицируем функцию f(х) = -tg²x, чтобы применить формулу ∫1/cos²xdx = tgx.

Добавим +1 и -1 к функции. Значение не изменится, но появится возможность заменить 1 + tg²x на 1/cos²x (формула приведения для тригонометрической функции).

f(x) = -tg²x - 1 + 1 = -(tg²x + 1) + 1 = -1/cos²x + 1.

Применим формулы:

1) ∫1/cos²xdx = tgx.

2) ∫1dx = x

Получаем:

-tgx + x + C = x - tgx + C.

Дополнительный комментарий:

1) Так как у любой функции может быть бесконечное множество первообразных функций, то при нахождении первообразной добавляется произвольная постоянная величина С. То есть первообразная функция f(x) записывается в виде F(x) + C.