Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на данном промежутке, если для всех значений х из этого промежутка справедливо равенство: F`(x) = f(x).

Интеграл от функции f(x) на отрезке [a; b] является разностью первообразных F(b) - F(a). Числа a и b называются пределами интегрирования (a - нижним пределом, b - верхним). Формула Ньютона-Лейбница:

В данном случае нужно найти интеграл на отрезке [π/4; π/2], т.е. F(π/2) - F(π/4).

1) Для нахождения первообразной F(x) применим формулы:

1) 1 + ctg²x = 1/sin²x (формула приведения для тригонометрической функции).

2) ∫1/sin²xdx = -ctgx.

Получаем:

∫(1/sin²x)dx = -ctgx.

2) Подставим вместо х значения π/2 и π/4, согласно формуле Ньютона-Лейбница:

-(ctg(π/2) - ctg(π/4)) = -(0 - 1) = -(-1) = 1.