34. Укажите первообразную функции f(х) = 1/x2 – cosx.
A)
-1/x3 – sinx + C
B)
1/x + sinx + C
C)
1/x2 + sinx + C
D)
-1/x - sinx + C
Правильный ответ:
D
Решение:
Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на данном промежутке, если для всех значений х из этого промежутка справедливо равенство: F`(x) = f(x).
В данном случае нужно найти первообразную F(x).
1) Запишем дробь 1/x2 в виде отрицательной степени х-2.
Получаем:
f(x) = x-2 - cosx.
2) Применим формулы:
1) ∫xndx = (xn+1)/(n+1).
2) ∫cosxdx = sinx.
Найдем первообразную:
x-2+1/(-2+1) - sinx + C = x-1/(-1) - sinx + C = -1/x - sinx + C.
Дополнительный комментарий:
1) Так как у любой функции может быть бесконечное множество первообразных функций, то при нахождении первообразной добавляется произвольная постоянная величина С. То есть первообразная функция f(x) записывается в виде F(x) + C.
2) Число в отрицательной степени a-n представляется в виде дроби 1/an. Примеры: x-2 = 1/x2,
