Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на данном промежутке, если для всех значений х из этого промежутка справедливо равенство: F`(x) = f(x).

В данном случае нужно найти первообразную F(x).

1) Раскроем скобки и представим 1/x в виде отрицательной степени x^-1:

(х - 1)х³ + е^3x + 1/(3x) = x⁴ - x³ + е^3x + 1/3x^-1.

2) Применим формулы:

1) ∫xⁿdx = (xⁿ⁺¹)/(n+1).

2) ∫е^xdx = е^x.

3) ∫1/xdx = ln|x|.

Учитываем, что если в сложных функциях перед x есть коэффициент k, то перед первообразной функцией появляется 1/k. В данном случае в функции e^3x коэффициент k = 3, значит перед функцией e^3x появляется 1/k = 1/3.

Получаем:

F(x) = x⁴⁺¹/(4+1) - x³⁺¹/(3+1) + 1/3*e^3x + 1/3ln|x| + C = 1/5x⁵ - 1/4x⁴ + 1/3e^3x + 1/3ln|x| + C.

Дополнительный комментарий:

1) Так как у любой функции может быть бесконечное множество первообразных функций, то при нахождении первообразной добавляется произвольная постоянная величина С. То есть первообразная функция f(x) записывается в виде F(x) + C.

2) Число в отрицательной степени a^-n представляется в виде дроби 1/aⁿ. Примеры: x^-5 = 1/x⁵,

y^-1 = 1/y.