Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на данном промежутке, если для всех значений х из этого промежутка справедливо равенство: F`(x) = f(x). В данном случае нужно найти первообразную F(x). 1) Применим формулы: 1) ∫xndx = (xn+1)/(n+1). 2) ∫cosxdx = sinx. Запишем дробь 1/x2 в виде отрицательной степени х-2. Получаем: f(x) = 2x1 - x-2 + cos2x. 2) Учитываем, что если в сложных функциях перед x есть коэффициент k, то перед первообразной функцией появляется 1/k. В данном случае в функции cos2x коэффициент k = 2, значит перед функцией sinx появляется 1/k = 1/2. Найдем первообразную: 2*x1+1/(1+1) - x-2+1/(-2+1) + 1/2sin2x + C = 2*x2/2 - x-1/(-1) + 1/2sin2x + C = x2 + 1/x + 1/2sin2x + C. Дополнительный комментарий: 1) Так как у любой функции может быть бесконечное множество первообразных функций, то при нахождении первообразной добавляется произвольная постоянная величина С. То есть первообразная функция f(x) записывается в виде F(x) + C. 2) Число в отрицательной степени a-n представляется в виде дроби 1/an. Примеры: x-2 = 1/x2, y-1 = 1/y. |
