Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на данном промежутке, если для всех значений х из этого промежутка справедливо равенство: F`(x) = f(x).

Интеграл от функции f(x) на отрезке [a; b] является разностью первообразных F(b) - F(a). Числа a и b называются пределами интегрирования (a - нижним пределом, b - верхним). Формула Ньютона-Лейбница:

В данном случае нужно найти интеграл на отрезке [0; π/2], т.е. F(π/2) - F(0).

1) Для нахождения первообразной F(x) применим формулу:

∫sinxdx = -cosx.

Учтем, что если в сложных функциях перед x есть коэффициент k, то перед первообразной функцией ставится 1/k. В данном случае k = 5, значит перед первообразной появляется 1/k = 1/5.

Получаем:

∫sin5xdx = 1/5*(-cos5x) = -1/5*cos5x.

2) Подставим вместо х значения 0 и π/2, согласно формуле Ньютона-Лейбница:

-1/5*(cos(5*π/2) - cos(5*0)) = -1/5*(cos(2,5π) - cos0) = -1/5*(cos(0,5π) - cos0) = -1/5*(0 - 1) = -1/5*(-1) = 1/5.

Дополнительный комментарий:

cos(2,5π) = cos(2π + 0,5π) = cos(0,5π) = cos90° = 0.

Наименьший период cosα и sinα равен 2π (360°), поэтому каждые 2π можно отбрасывать.