Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на данном промежутке, если для всех значений х из этого промежутка справедливо равенство: F`(x) = f(x).

Интеграл от функции f(x) на отрезке [a; b] является разностью первообразных F(b) - F(a). Числа a и b называются пределами интегрирования (a - нижним пределом, b - верхним). Формула Ньютона-Лейбница:

В данном случае нужно найти интеграл на отрезке [0; π/6], т.е. F(π/6) - F(0).

1) Для нахождения первообразной F(x) применим формулу:

∫sinxdx = -cosx.

Учтем, что если в сложных функциях перед x есть коэффициент k, то перед первообразной функцией ставится 1/k.

Получаем:

∫sin2xdx = 1/2*(-cos2x) = -1/2*cos2x.

2) Подставим вместо х значения 0 и π/6, согласно формуле Ньютона-Лейбница:

-1/2*(cos(2*π/6) - cos(2*0)) = -1/2*(cos(π/3) - cos0) = -1/2*(1/2 - 1) = -1/2*(-1/2) = 1/4.