Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на данном промежутке, если для всех значений х из этого промежутка справедливо равенство: F`(x) = f(x).

В данном случае нужно найти производную F`(х), т.е. (ln(1/cosx) + С)`.

Так как функция сложная, поочередно применим следующие формулы:

1) C = 0;

2) (lnx)` = 1/x.

3) (xⁿ)` = n*x^n-1.;

4) (cosx)` = -sinx.

1) (ln(1/cosx) + С)` = cosx*(1/cosx)` = cosx*(cosx^-1)` = cosx*(-1*cosx<sup>-2</sup>)*(cosx)` = cosx*(-1*cosx^-2)*(-sinx) = -cosx^-1*(-sinx) = sinx / cosx = tgx.

Таким образом, функция F(х) = ln(1/cosx) + С является первообразной для tgx.