Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на данном промежутке, если для всех значений х из этого промежутка справедливо равенство: F`(x) = f(x).

В данном случае нужно найти первообразную F(x).

1) Применим формулу:

∫xⁿdx = (xⁿ⁺¹)/(n+1).

Запишем дробь в виде отрицательной степени х^-2/3.

Получаем:

(х^{-2/3 + 1}) / (-2/3 + 1) = х^1/3 : 1/3 = 3х^1/3.

2) Учитываем, что если k и b являются постоянными величинами, то для f(kx + b) первообразной будет 1/k*F(kx + b), т.е. k выносится вперед в виде 1/k.

Найдем первообразную от (2х - 3)²:

1/2*(2х - 3)²⁺¹ / (2+1) = 1/2*((2х - 3)³ / 3 = 1/6*(2х - 3)³.

3) Так как график функции проходит через точку (1; 1/6), т.е. х = 1, F(x) = 1/6, можно найти значение С:

+ C = 1/6.

3 + 1/6 * (2 - 3)³ + C = 1/6.

3 - 1/6 + C = 1/6.

C = 1/6 - 2 5/6 = -2 4/6 = -2 2/3.

Таким образом, правильный ответ:

Способ немного попроще:

Так как известны значения х и F(x), то можно сразу подставить их во все ответы поочередно, например:

= 1/6.

3 + 1/6 * (2 - 3)³ - 2 2/3 = 3 - 1/6 - 2 4/6 = 3 - 2 5/6 = 1/6.

Как видно, ответ верный.