1) Возьмем любую арифметическую прогрессию, например: 1,3,5,7... То есть a₁ = 1, d = 2, n = 4, a_n = 7.

Подставим в формулу:

d = (a_n+a₁)/(n-1).

2 = (7 + 1)/(4 - 1) = 8/3 (неверно).

2) Если это члены арифметической прогрессии, то должно выполняться условие: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов (предыдущему и последующему); или, другими словами, равен полусумме соседних с ним членов.

В данном случае должно выполняться равенство:

2sinαcosβ = sin(α + β) + sin(α - β).

Проверим:

sin(α + β) + sin(α - β) = 2sin((α + β + α - β)/2)cos((α + β - α + β)/2) = 2sin(2α/2)cos(2β/2) = 2sinαcosβ.

Как видно, условие выполняется, а значит утверждение, что указанные выражения являются членами арифметической прогрессии, верно.

3) Основная формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

S_n = (a₁ + a_n)*n/2.

Так как a_n = a₁ + d(n-1), то заменим a_n в основной формуле:

S_n = (a₁ + a₁ + d(n-1))*n/2 = (2a₁ + d(n-1))*n/2.

Таким образом, сумму первых n членов арифметической прогрессии невозможно найти по указанной формуле, т.е. утверждение неверно.

4) Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле: S = b₁/(1-q).

То есть утверждение верно.

5) Сумму первых n членов геометрической прогрессии находят по формуле:

S_n = b₁ * (qⁿ - 1) / (q - 1).

Соответственно, утверждение верно.

Так как по условию требуется указать верные утверждения, то это утверждения 2,4,5.