Ниже приведены правильные формулы для арифметической прогрессии:

1) a_n = (a_n-1 + a_n+1)/2.

Преобразуем формулу:

2a_n = a_n-1 + a_n+1.

Для n = 2 получаем:

2a₂ = a₁ + a₃.

Перенесем левую часть вправо:

a₁ + a₃ - 2a₂ = 0.

Следовательно, исходное выражение верно

2) a_n = a₁ + d(n - 1):

Для n = 2 получаем:

a₂ = a₁ + d(2 - 1);

a₁ = a₂ - d.

Следовательно, исходное выражение неверно.

3) a_n = a₁ + d(n - 1).

Преобразуем формулу:

a_n = a₁ + dn - d;

a_n - a₁ + d = dn;

(a_n - a₁ + d)/d = n.

Исходное выражение со знаком минус, значит неверно.

Способ попроще:

Возьмем произвольную арифметическую прогрессию и поочередно подставим значения в исходные выражения. Прогрессия: 1,5,9,13,17... d = 4, n = 5.

1) a₁ – 2a₂ + a₃ = 0:

1 - 2*5 + 9 = 0 (верно).

2) a₁ = a₃ – a₂:

1 = 9 - 5 (неверно).

3) n = - (a_n – a₁ + d)/d:

5 = - (17 - 1 + 4)/4 = -20/4 = -5 (неверно).

Как видно, среди исходных выражений неверны лишь 2 и 3.