Модуль числа - это расстояние на числовой оси от нуля до данного числа. Модуль числа не может быть отрицательным.

Модуль положительного числа и числа нуль есть само это число: |15| = 15, |6| = 6, |0| = 0.

Модуль отрицательного числа равен ему противоположному: |-4| = -(-4) = 4, |-15| = -(-15) = 15.

Другими словами:

|х| = х, если х≥0;

|х| = -х, если х<0.

Например:

1) если |х| = 3, то х = ±3;

2) если |х| = 0, то х = 0;

3) |х| = -15, так не бывает.

В данном случае сначала определим область допустимых значений (О.Д.З.):

4х - 1 ≠ 0, т.к. на нуль делить нельзя.

4х ≠ 1.

х ≠ 1/4.

Дробь равна нулю, если числитель равен 0, а знаменатель не равен нулю.

Таким образом:

(2|х| - 3)² - |х| - 6 = 0.

Воспользуемся методом замены переменных: |х| = t, t > 0.

(2t - 3)² - t - 6 = 0.

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение:

4t² - 12t + 9 - t - 6 = 0.

4t² - 13t + 3 = 0.

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = 13² - 4*4*3 = 169 - 48 = 121.

Найдем корни:

t₁ = (-b - √D)/(2a) = (13 - √121)/(2*4) = (13 - 11)/8 = 2/8 = 1/4.

t₂ = (-b + √D)/(2a) = (13 + √121)/(2*4) = (13 + 11)/8 = 24/8 = 3.

Таким образом, |х| = 3 и |х| = 1/4.

То есть:

х = 3; -3 и х = 1/4; -1/4 (см. выше свойства модуля).

Вспомним, что 1/4 не входит в О.Д.З.

Следовательно, произведение корней исходного уравнения равно:

-3*3*(-1/4) = 9/4.

Доп. комментарий:

Метод замены переменной заключается в том, что вместо сложного выражения вводится новая переменная, позволяющая сократить первоначальные расчеты.