Общий вид квадратного уравнения: ax² + bx + с = 0, где a - I коэффициент, b - II коэффициент, с - III коэффициент или свободный член.

Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, если у него дискриминант больше 0 (D > 0).

Квадратное уравнение имеет один единственный корень, если у него дискриминант равен 0 (D = 0).

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если у него дискриминант меньше 0 (D < 0).

Дискриминант вычисляется по формуле: D = b² - 4ac.

В данном случае уравнение должно иметь один корень, значит дискриминант равен нулю (D = 0).

То есть: b² - 4ac = 0.

Имеется уравнение (m - 2)х² – 2mх + 2m - 2 = 0, где I коэффициент a = m - 2, II коэффициент b = -2m, III коэффициент с = 2m - 2.

Подставим в формулу:

D = b² - 4ac = (-2m)² - 4*(m - 2)*(2m - 2) = 0.

4m² - 4*(m - 2)*(2m - 2) = 0.

Разделим обе части на 4:

m² - (m - 2)*(2m - 2) = 0.

Раскроем скобки:

m² - (2m² - 4m - 2m + 4) = 0.

m² - 2m² + 6m - 4 = 0.

-m² + 6m - 4 = 0.

Умножим обе части на минус:

m² - 6m + 4 = 0.

Так как дискриминант полученного уравнения больше нуля, то оно имеет 2 различных действительных корня (D = b² - 4ac = 6² - 4*1*4 = 36 - 16 = 20, 20 > 0).

Сумма двух корней по теореме Виета m₁+m₂ = 6 (то есть сумма равна II коэффициенту, взятому с противоположным знаком).

Следует заметить, что при m = 2 выражение (m - 2)х² – 2mх + 2m - 2 = 0 становится линейным:

-4х + 2 = 0, т.е. оно имеет один корень как требуется в условии.

Таким образом среднее арифметическое значений m, при которых исходное уравнение имеет один корень равно:

(6 + 2) / 3 = 8/3.

Доп. комментарий:

Чтобы найти среднее арифметическое нескольких чисел, надо их сумму разделить на их количество (например: 20, 26, 28 и 30 имеют среднее арифметическое 26, т.к. (20 + 26 + 28 + 30) / 4 = 26).