Testmat.ru - Онлайн тестирование
Тесты по математике
Проверить свой уровень!
2005-12 2005-11
2005-10 2005-09
2005-08 2005-07
2005-06 2005-05
2005-04 2005-03
2005-02 2005-01
По темам

На главную Английский язык Русский язык Химия и биология Физика История География Форум
Тест по математике
 

22. Сколько корней имеет уравнение cos2x - cos6x - sin4x = 0 на отрезке [0; π].

A)

6

B)

5

C)

8

D)

7

 

Правильный ответ:

D

 

Решение:

Воспользуемся формулой разности косинусов двух углов:

cosα - cosβ   =  -2sin α + β  ∙ sin α - β
2 2

Учитывая, что синус является нечетной функцией, т.е. sin(-x) = -sinx, получаем:

(cos2x - cos6x) - sin4x = -2sin(2x + 6x)/2 · sin(2x - 6x)/2 - sin4x = -2sin4x·sin(-2x) - sin4x = 2sin4x·sin2x - sin4x = 0.

Вынесем sin4x за скобки:

sin4x·(2sin2x - 1) = 0.

 

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные имеют смысл.

В данном случае два множителя, каждый из которых может равняться нулю (здесь и далее k ∈ Z):

 

1) sin4x = 0.

4x = πk.

x = πk/4.

Выберем корни, принадлежащие промежутку [0; π]:

а) при k = 0: x = 0.

б) при k = 1: х = 1·π/4 = π/4.

в) при k = 2: х = 2·π/4 = π/2.

г) при k = 3: х = 3·π/4 = 3π/4.

д) при k = 4: х = 4·π/4 = π.

При всех других значениях k корни не войдут в промежуток [0; π].

 

2) 2sin2x - 1 = 0.

2sin2x = 1.

sin2x = 1/2.

2x = (-1)k·arcsin 1/2 + πk.

2x = (-1)k·π/6 + πk.

x = (-1)k·π/12 + πk/2.

Выберем корни, принадлежащие промежутку [0; π]:

а) при k = 0: x = (-1)0·π/12 + π·0/2 = 1·π/12 + 0 = π/12.

б) при k = 1: x = (-1)1·π/12 + π·1/2 = -1·π/12 + π/2 = π/2 - π/12 = 6π/12 - π/12 = 5π/12.

в) при k = 2: x = (-1)2·π/12 + π·2/2 = 1·π/12 + π = π/12 + π = π/12 + 12π/12 = 13π/12. Этот корень не входит в промежуток [0; π].

 

Как видно, уравнение имеет 7 корней на отрезке [0; π].

 

Категория:

Алгебра

 

В начало | Предыдущий | Следующий

Если вы заметили орфографическую ошибку, пожалуйста, выделите ее мышью и нажмите Ctrl+Enter

Система Orphus


 
  © 2012-2018 “TESTMAT.RU” Онлайн-тестирование по математике с решениями.
При перепечатке материалов и использовании их в любой форме, ссылка на сайт testmat.ru обязательна.
E-mail: testmat.ru@mail.ru