Раскроем, где нужно, скобки и перенесем известные в одну сторону, неизвестные в другую, изменяя знаки на противоположные:

-4x > 5 - 3
2 + 3x - 3 ≤ 4x + 5

-4x > 2
3x - 4x ≤ 5 - 2 + 3

-x > 2/4
-x ≤ 6

-x > 1/2
-x ≤ 6

Умножим обе части неравенств на -1, при этом знаки равенства изменятся на противоположные:

x < -1/2
x ≥ -6

Как видно:

-6 ≤ x < -1/2.

Таким образом, целые решения данной системы неравенств: -6, -5, -4, -3, -2, -1.

Всего целых решений 6.