Для удобства расчетов заменим cosх на t и получим квадратное уравнение (причем -1 ≤ t ≤ 1, т.к. косинус принимает значения только от -1 до 1 включительно):

t² - 5/2 t + 1 ≤ 0.

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробей:

2t² - 5t + 2 ≤ 0.

Решим методом интервалов.

Найдем нули выражения 2t² - 5t + 2:

Дискриминант вычислим по формуле D = b² - 4ac:

D = (-5)² - 4·2·2 = 25 - 16 = 9.

Нули найдем по формулам:

Получаем:

t₁ = (5 - √9) / 2·2 = (5 - 3) / 4 = 2/4 = 1/2.

t₂ = (5 + √9) / 2·2 = (5 + 3) / 4 = 8/4 = 2.

Отметим полученные нули на числовой оси.

Выражение 2t² - 5t + 2 меньше или равно нулю на интервале [0,5; 2].

На интервалах (-∞; 0,5) и (2; ∞) значения выражения больше нуля и не являются решением неравенства.

Так как выше обозначили, что -1 ≤ t ≤ 1, то интервал сужается до [0,5; 1].

Так как cosx ≤ 1 верно при всех х ∈ R, то рассмотрим только cosx ≥ 0,5.

Для этого на единичной окружности проведем прямую x = 0,5 = 1/2 параллельно оси ординат.

Прямая пересечет окружность в двух точках:

P₁ = arccos 1/2 = π/3;

P₂ = -arccos 1/2 = -π/3.

Неравенству cosx ≥ 0,5 удовлетворяют лишь точки меньшей дуги (где 1/2 ≤ х ≤ 1 на оси абсцисс).

В условии требуется найти углы из промежутка [0; 2π], т.е. от 0° до 360°.

Углы меньшей дуги соответствуют [0; π/3] (от 0° до 60°) и [5π/3; 2π] (от 300° до 360°).

Таким образом, неравенство верно при х Є [0; π/3] U [5π/3; 2π].