Testmat.ru - Онлайн тестирование
Тесты по математике
Проверить свой уровень!
2005-12 2005-11
2005-10 2005-09
2005-08 2005-07
2005-06 2005-05
2005-04 2005-03
2005-02 2005-01
По темам

На главную Английский язык Русский язык Химия и биология Физика История География Форум
Тест по математике
 

42. При каких значениях х верно неравенство cos2х – 5/2 cosх + 1 ≤ 0 х Є [0; 2π] ?

A)

[5π/3; 2π]

B)

[0; π/3]

C)

[0; π/3] U [5π/3; 2π]

D)

[π/3; π/2] U [3π/2; 5π/3]

 

Правильный ответ:

C

 

Решение:

Для удобства расчетов заменим cosх на t и получим квадратное уравнение (причем -1 ≤ t ≤ 1, т.к. косинус принимает значения только от -1 до 1 включительно):

t2 - 5/2 t + 1 ≤ 0.

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробей:

2t2 - 5t + 2 ≤ 0.

Решим методом интервалов.

Найдем нули выражения 2t2 - 5t + 2:

Дискриминант вычислим по формуле D = b2 - 4ac:

D = (-5)2 - 4·2·2 = 25 - 16 = 9.

Нули найдем по формулам:

Получаем:

t1 = (5 - √9) / 2·2 = (5 - 3) / 4 = 2/4 = 1/2.

t2 = (5 + √9) / 2·2 = (5 + 3) / 4 = 8/4 = 2.

 

Отметим полученные нули на числовой оси.

Выражение 2t2 - 5t + 2 меньше или равно нулю на интервале [0,5; 2].

На интервалах (-∞; 0,5) и (2; ∞) значения выражения больше нуля и не являются решением неравенства.

 

Так как выше обозначили, что -1 ≤ t ≤ 1, то интервал сужается до [0,5; 1].

Так как cosx ≤ 1 верно при всех х ∈ R, то рассмотрим только cosx ≥ 0,5.

Для этого на единичной окружности проведем прямую x = 0,5 = 1/2 параллельно оси ординат.

Прямая пересечет окружность в двух точках:

P1 = arccos 1/2 = π/3;

P2 = -arccos 1/2 = -π/3.

Неравенству cosx ≥ 0,5 удовлетворяют лишь точки меньшей дуги (где 1/2 ≤ х ≤ 1 на оси абсцисс).

 

В условии требуется найти углы из промежутка [0; 2π], т.е. от до 360°.

Углы меньшей дуги соответствуют [0; π/3] (от 0° до 60°) и [5π/3; 2π] (от 300° до 360°).

 

Таким образом, неравенство верно при х Є [0; π/3] U [5π/3; 2π].

 

Категория:

Тригонометрия

 

В начало | Предыдущий | Следующий

Если вы заметили орфографическую ошибку, пожалуйста, выделите ее мышью и нажмите Ctrl+Enter

Система Orphus


 
  © 2012-2018 “TESTMAT.RU” Онлайн-тестирование по математике с решениями.
При перепечатке материалов и использовании их в любой форме, ссылка на сайт testmat.ru обязательна.
E-mail: testmat.ru@mail.ru