В первую очередь определяем область допустимых значений (ОДЗ): Тангенс для 90° и 270° (повторяясь каждые 360°) не существует, поэтому х ≠ π/2 + πk и 3х ≠ π/2 + πk, k Є Z. Применим формулу: Получаем: tgx·tg3x = sinx/cosx · sin3x/cos3x = sinxsin3x / cosxcos3x = -1. Воспользуемся свойством пропорции, по которому произведение крайних членов равно произведению средних: sinxsin3x = -cosxcos3x. Переносим всё в левую часть: sinxsin3x + cosxcos3x = 0. Теперь можно применить формулу косинуса разности двух углов: cos(α - β) = cosα cosβ + sinα sinβ sinxsin3x + cosxcos3x = cos(3x - x) = cos2x = 0. Таким образом (k Є Z): 2х = π/2 + πk. х = π/4 + πk/2. Дополнительный комментарий: а) тангенс 90° (повторяясь каждые 180°) не определен, т.к. tgα = sinα / cosα, а cos90° = 0, но на нуль делить нельзя. б) котангенс 0° (повторяясь каждые 180°) не определен, т.к. сtgα = cosα = cos / sinα, а sin0° = 0, но на нуль делить нельзя. |
