В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ): Так как на нуль делить нельзя, то знаменатель не должен равняться нулю, т.е. sinx ≠ 0. Значит: х ≠ πk, k ∈ Z. Воспользуемся формулами понижения степени косинуса и синуса двойного угла: 1 + cosα = 2cos2(α/2) sinα = 2sin(α/2)cos(α/2) Получаем: 2cos2(x/2) / 2sin(x/2)cos(x/2) = 2cos(x/2). Числитель и знаменатель можно сократить на 2cos(x/2): cos(x/2) / sin(x/2) = 2cos(x/2). Умножим обе части уравнения на sin(x/2), чтобы избавиться от знаменателя (при sin(x/2) ≠ 0): cos(x/2) = 2cos(x/2)·sin(x/2). Перенесем все в левую часть и вынесем cos(x/2) за скобки: cos(x/2) - 2cos(x/2)·sin(x/2) = cos(x/2)·(1 - 2sin(x/2)) = 0. Чтобы произведение равнялось нулю, хотя бы один из множителей должен равняться нулю, а другие при этом иметь смысл. Получаем: а) cos(x/2) = 0. x/2 = π/2 + πk, k ∈ Z. x = π + 2πk, k ∈ Z. б) 1 - 2sin(x/2) = 0. 2sin(x/2) = 1. sin(x/2) = 1/2. x/2 = (-1)k·arcsin 1/2 + πk = (-1)k·(π/6) + πk, k ∈ Z. x = (-1)k·(π/3) + 2πk, k ∈ Z. Как мы определили выше, корень x = π + 2πk не входит в ОДЗ. Значит рассмотрим только корни x = (-1)k·(π/3) + 2πk, k ∈ Z. Проверим какие корни входят в промежуток [0; 16π/3] как требуется по условию: а) при k = 0: х = (-1)0·(π/3) + 2π·0 = 1·(π/3) = π/3. б) при k = 1: х = (-1)1·(π/3) + 2π·1 = -1·(π/3) + 2π = -π/3 + 2π = 5π/3. в) при k = 2: (-1)2·(π/3) + 2π·2 = 1·(π/3) + 4π = π/3 + 4π = 13π/3. г) при k = 3: (-1)3·(π/3) + 2π·3 = -1·(π/3) + 6π = -π/3 + 6π = 17π/3. При всех k ≥ 3 корни больше, чем 16π/3. Как видно, в промежуток [0; 16π/3] входит только 3 корня. |