Воспользуемся свойством пропорции, по которому произведение крайних членов равно произведению средних. Перемножаем крест-накрест:

(1 + tg²x)·1 = (2 - ctg²x)·1.

1 + tg²x = 2 - ctg²x.

Переносим известные в одну, неизвестные в другую сторону:

tg²x + ctg²x = 2 - 1 = 1.

Заменяем ctg²x на 1/tg²x:

tg²x + 1/tg²x = 1.

Приводим к общему знаменателю tg²x:

(tg⁴x + 1) / tg²x = 1.

По вышеупомянутому свойству пропорции получаем:

tg⁴x + 1 = tg²x.

В результате имеем уравнение:

tg⁴x - tg²x + 1 = 0.

Если принять tg²x за t, то получим квадратное уравнение:

t² - t + 1 = 0.

Дискриминант уравнения находится по формуле:

b² - 4ac.

В данном случае дискриминант равен:

D = (-1)² - 4·1·1 = 1 - 4.

Так как дискриминант уравнения меньше нуля, то уравнение не имеет решений.

Кроме того, это задание можно решить перебором ответов, что является более быстрым способом:

а) в ответе π + 2πk:

х = π, но ctgx при x = πk не существует.

б) в ответе 2πk:

x = 0, но ctgx при х = 0 не определен.

в) в ответе π/4 + πk/2:

х = π/4 = 45°, подставим в начальное выражение 1 + tg²x = 2 - ctg²x:

1 + 1 = 2 - 1 - неверно.

Таким образом, остается лишь ответ: нет решений.