В знаменателе применим формулы:

tgx	=	sinx
		cosx

ctgx	=	cosx
		sinx

cos2x = cos²x - sin²x

sin2x = 2sinx cosx

Таким образом, знаменатель дроби:

tga - ctga = sina/cosa - cosa/sina.

Приводим к общему знаменателю sinacosa, умножая первую дробь на sina, вторую на cosa:

(sin²a - cos²a) / sinacosa = -cos2a / sinacosa.

Получаем:

2 : (-cos2a) / sinacosa = -2sinacosa / cos2a = -sin2a / cos2a = -tg2a.

Дополнительный комментарий:

Деление дробей можно заменить на умножение, "перевернув" дробь-делитель (например, 2 : 5/8 = 2 * 8/5).