1) Возьмем любую арифметическую прогрессию, например: 1,6,11,16... То есть a₁ = 1, d = 5, n = 4, a_n = 16.

Подставим в формулу:

d = (a_n+a₁)/(n-1).

3 = (16 + 1)/(4 - 1) = 17/3 (утверждение 1 неверно).

2) Если это члены арифметической прогрессии, то должно выполняться условие: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов (предыдущему и последующему); или, другими словами, равен полусумме соседних с ним членов.

В данном случае должно выполняться равенство:

2sin(α - β) = sin(α + β) + sinαcosβ.

Проверим:

2sin(α - β) - sin(α + β) = sinαcosβ.

Разложим по формуле правую часть равенства:

2sin(α - β) - sin(α + β) = 0,5(sin(α - β) + sin(α + β)) = 0,5sin(α - β) + 0,5sin(α + β).

1,5sin(α - β) = 1,5sin(α + β).

Как видно, равенство не выполняется, значит утверждение 2 неверно.

3) Основная формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

S_n = (a₁ + a_n)*n/2.

Так как a_n = a₁ + d(n-1), то заменим a_n в основной формуле:

S_n = (a₁ + a₁ + d(n-1))*n/2 = (2a₁ + d(n-1))*n/2.

Таким образом, сумму первых n членов арифметической прогрессии невозможно найти по указанной формуле, т.е. утверждение 3 верно.

4) Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле: S = b₁/(1-q).

То есть утверждение 4 неверно.

5) Сумму первых n членов геометрической прогрессии находят по формуле:

S_n = b₁ * (qⁿ - 1) / (q - 1).

Соответственно, утверждение 5 верно.

Так как по условию требуется указать неверные утверждения, то это утверждения 1,2,4.