Арифметическая прогрессия - это числовая последовательность, у которой задан первый член a₁, а каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d.

Геометрическая прогрессия - это числовая последовательность, у которой задан первый член b₁, а каждый следующий член, начиная со второго, получается умножением предыдущего на одно и то же число q.

1) Возьмем любую арифметическую прогрессию, например: 1,4,7,10... То есть a₁ = 1, d = 3, n = 4, a_n = 10.

Подставим в формулу:

d = (a_n-a₁)/(n-1).

3 = (10 - 1)/(4 - 1) = 9/3 = 3 (верно).

2) Если это члены арифметической прогрессии, то должно выполняться условие: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов (предыдущему и последующему); или, другими словами, равен полусумме соседних с ним членов.

В данном случае должно выполняться равенство:

2sin(α - β) = sin(α + β) + sinαcosβ.

Проверим:

2sin(α - β) - sin(α + β) = sinαcosβ.

Разложим по формуле правую часть равенства:

2sin(α - β) - sin(α + β) = 0,5(sin(α - β) + sin(α + β)) = 0,5sin(α - β) + 0,5sin(α + β).

1,5sin(α - β) = 1,5sin(α + β).

Как видно, равенство не выполняется, значит утверждение неверно.

3) Основная формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

S_n = (a₁ + a_n)*n/2.

Так как a_n = a₁ + d(n-1), то заменим a_n в основной формуле:

S_n = (a₁ + a₁ + d(n-1))*n/2 = (2a₁ + d(n-1))*n/2.

Таким образом, сумму первых n членов арифметической прогрессии можно найти по указанной формуле, т.е. утверждение верно.

4) Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле: S = b₁/(1-q).

То есть утверждение верно.

5) Сумму первых n членов геометрической прогрессии находят по формуле:

S_n = b₁ * (qⁿ - 1) / (q - 1).

Соответственно, утверждение неверно.

Так как по условию требуется указать верные утверждения, то это утверждения 1,3,4.