Модуль числа - это расстояние на числовой оси от нуля до данного числа. Модуль числа не может быть отрицательным.

Модуль положительного числа и числа нуль есть само это число: |10| = 10, |6| = 6, |0| = 0.

Модуль отрицательного числа равен ему противоположному: |-4| = -(-4) = 4, |-10| = -(-10) = 10.

Другими словами:

|х| = х, если х≥0;

|х| = -х, если х<0.

Например:

1) если |х| = 3, то х = ±3;

2) если |х| = 0, то х = 0;

3) |х| = -9, так не бывает.

В данном случае модуль числа равен ему противоположному: |х² - 8х + 7| = -7 + 8х - х² = -(х² - 8х + 7).

Следовательно, выражение х² - 8х + 7 меньше или равно нулю (х² - 8х + 7 ≤ 0).

По теореме Виета:

х₁* х₂ = 7;

х₁ + х₂ = 8.

То есть:

х₁ = 1;

х₂ = 7.

При х < 1 и х > 7 выражение х² - 8х + 7 > 0 (не подходит, т.к. выше мы определили, что это выражение должно быть меньше или равно нулю).

При 1 ≤ х ≤ 7 выражение х² - 8х + 7 ≤ 0, что и нужно.

Таким образом, х находится в промежутке от 1 до 7 включительно, т.е. х Є [1; 7] (квадратные скобки означают, что границы 1 и 7 включаются).

Натуральные числа - это числа, которые используются для счета предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета, то есть 1,2,3 и т.д. Ноль (0) не является натуральным числом. Самого большого натурального числа не существует.

Так как х Є [1; 7], то сумма всех натуральных чисел, входящих в этот промежуток = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28.