Воспользуемся формулой понижения степени косинуса: Преобразовав эту формулу, получим: 2cos2α = 1 + cos2α. Второе неравенство исходной системы теперь выглядит так: 1 + cos2x - 1 ≥ 0,5. cos2x ≥ 0,5. В данном случае косинус числа - это абсцисса точки на единичной окружности, соответствующей числу 2х. Так как абсцисса у нас равна 0,5, то проводим прямую х = 0,5. Эта прямая пересекает окружность в двух точках и разбивает ее на две дуги. Нас устраивает дуга, где х ≥ 0,5. Это меньшая дуга. 
Следовательно, решением данного неравенства являются все числа от -π/3 до π/3, с учетом периодичности косинуса: -π/3 + 2πk ≤ 2x ≤ π/3 + 2πk, k ∈ Z. Следует знать, что счет на единичной окружности всегда ведется против часовой стрелки. Теперь разделим все части двойного неравества на 2, чтобы получить значения х: -π/6 + πk ≤ x ≤ π/6 + πk, k ∈ Z. По условию 0 ≤ x ≤ π, то есть x ∈ [0; π]. Таким образом: а) при k = 0: x ∈ [-π/6; π/6], но с учетом промежутка x ∈ [0; π] берем только x ∈ [0; π/6]; б) при k = 1: -π/6 + π ≤ x ≤ π/6 + π 5π/6 + π ≤ x ≤ 7π/6, но с учетом промежутка x ∈ [0; π] берем только x ∈ [5π/6; π]; в) при всех остальных значениях k корни уравнения не попадут в промежуток x ∈ [0; π]. Как видно, x ∈ [0; π/6] и x ∈ [5π/6; π]. Другими словами: x ∈ [0; π/6] U [5π/6; π]. |
