В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ):

1) так как знаменатель не может быть нулем, то:

1 + sinx ≠ 0.

sinx ≠ -1.

x ≠ -π/2 + 2πk, k Є Z.

2) так как котангенс для 0° и 180° (повторяясь каждые 360°) не существует, то:

х ≠ πk, k Є Z.

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Поэтому:

Решим уравнение ctgx = 0 и исключим корни, при которых знаменатель обращается в нуль (здесь и далее k Є Z).

Если ctgx = 0, то:

х = π/2 + πk.

Но х = -π/2 + 2πk не входит в ОДЗ, т.к. знаменатель в этом случае обращается в нуль.

Таким образом, корни данного уравнения находятся по формуле:

х = π/2 + 2πk.

- при k = 0: x = π/2 = 0,5π.

- при k = 1: x = π/2 + 2π = 2,5π.

- при k = 2: x = π/2 + 4π = 4,5π.

- при других значениях k корни не входят в промежуток [0; 5π].

Как видно, данное уравнение имеет только 3 корня на промежутке [0; 5π].

Дополнительный комментарий:

а) тангенс 90° (повторяясь каждые 180°) не определен, т.к. tgα = sinα / cosα, а cos90° = 0, но на нуль делить нельзя.

б) котангенс 0° (повторяясь каждые 180°) не определен, т.к. сtgα = cosα / sinα, а sin0° = 0, но на нуль делить нельзя.