1) Способ № 1:

Воспользуемся формулой:

sin2α	=	2tgα
		1 + tg2α

Так как ctga·tga = 1, то преобразуем формулу:

2tga / (1 + tg²a) = 2tga / (ctga·tga + tg²a) = 2 / (ctga + tga) = 2/4 = 1/2.

Здесь разделили числитель и знаменатель на tga (по основному свойству дроби).

2) Способ № 2:

Так как tga = sina/cosa, а сtga = cosa/sina, то преобразуем выражение и затем приведем к общему знаменателю:

tga + ctga = sina/cosa + cosa/sina = (sin²a + cos²a) / sina/cosa = 1 / sina/cosa = 4, - здесь применили основное тождество тригонометрических функций sin²α + cos²α = 1.

Далее применим формулу синуса двойного угла:

1 / sina/cosa = 4, - делим обе части равенства на 2:

1 / 2sina/cosa = 2.

1 / sin2a = 2.

sin2a = 1/2.

Дополнительный комментарий:

Основное свойство дроби:

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то значение дроби не меняется. На этом основано сокращение дробей и приведение их к новому знаменателю.

Например:

а) 1/2 - это половина;

1·10 / 2·10 = 10/20 - это тоже половина. Здесь умножили числитель и знаменатель на 10.

б) 10/20 = (5+5)/(5+15) можно сократить путем деления каждого слагаемого числителя и знаменателя на 5, причем значение дроби не изменится: (1+1)/(1+3) = 2/4 = 1/2.