Общий вид квадратного уравнения: ax² + bx + с = 0, где a - I коэффициент, b - II коэффициент, с - III коэффициент или свободный член.

По теореме Виета:

x₁ * x₂ = c/a.

x₁ + x₂ = - b/a.

То есть, при a = 1, произведение корней квадратного уравнения равно свободному члену (с), а сумма корней равна II коэффициенту, взятому с противоположным знаком (-b).

Например:

x² + 5x + 6 = 0. Значит:

x₁*x₂ = 6,

x₁+x₂ = -5.

То есть x₁ = -2, x₂ = -3.

Еще пример:

9x² - 7x + 8 = 0. Значит:

x₁*x₂ = 8/9,

x₁+x₂ = 7/9.

В данном случае есть квадратное уравнение х² + 3х + k + 8 = 0, где по теореме Виета:

x₁*x₂ = k + 8;

x₁+x₂ = -3.

По условию x₁/х₂ = -1/4.

По правилу пропорции:

-х₂ = 4х₁ или х₂ = -4х₁.

Вместо х₂ подставляем -4х₁:

x₁+(-4х₁) = -3.

-3х₁ = -3.

х₁ = -3 / -3 = 1.

Отсюда:

1 + x₂ = -3.

x₂ = -4.

Так как x₁*x₂ = k + 8, то:

-4*1 = k + 8.

k = -4 - 8 = -12.