Общий вид квадратного уравнения: ax² + bx + с = 0, где a - I коэффициент, b - II коэффициент, с - III коэффициент или свободный член.

Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, если у него дискриминант больше 0 (D > 0).

Квадратное уравнение имеет один единственный корень, если у него дискриминант равен 0 (D = 0).

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если у него дискриминант меньше 0 (D < 0).

Дискриминант вычисляется по формуле: D = b² - 4ac.

В данном случае уравнение должно иметь один корень, значит дискриминант равен нулю (D = 0).

То есть: b² - 4ac = 0.

Имеется уравнение ах² - (а + 1)х + 2а + 2 = 0, где I коэффициент a = a, II коэффициент b = а + 1, III коэффициент с = 2а + 2.

Подставим в формулу:

(а + 1)² - 4*a*(2a + 2) = 0.

a² + 2a + 1 - 8a² - 8a = 0.

-7a² - 6a + 1 = 0.

Умножим обе части на минус:

7a² + 6a - 1 = 0.

Чтобы найти корни, посчитаем дискриминант этого уравнения:

D = b² - 4ac = 6² - 4*7*(-1) = 36 + 28 = 64.

Найдем корни:

a₁ = (-b-√D)/2a = (-6-8)/14 = -1.

a₂ = (-b+√D)/2a = (-6+8)/14 = 2/14 = 1/7.

Кроме этого, нужно обратить внимание на то, что при a = 0 исходное квадратное уравнение превращается в линейное: -х + 2 = 0, которое имеет один корень (х = 2).

Как видно, при a = -1; 0; 1/7 уравнение имеет один корень.

Есть более быстрый способ решить это задание. Нужно проанализировать ответы:

Так как при a = 0 уравнение становится линейным -х + 2 = 0 и имеет один корень (х = 2), то ответы без нуля не подходят (их исключаем из правильных).

Остается проверить a = 1/7:

1/7x² - (1/7 + 1)x + 2 * 1/7 + 2 = 0.

1/7x² - 8/7x + 2/7 + 2 = 0.

Умножаем обе части на 7:

x² - 8x + 2 + 14 = 0.

x² - 8x + 16 = 0.

(x - 4)² = 0.

x = 4 (один корень).

Таким образом, при a = 1/7 один корень, а значит подходит ответ, содержащий 1/7.