Высота треугольника — это отрезок, опущенный из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне.

Медиана - это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны, т.е. делит эту сторону пополам.

Биссектриса - это луч выходящий из вершины угла и делящий его пополам.

В данном случае:

Треугольник ABC равнобедренный по условию, значит стороны AB и BC равны (AB = BC).

Угол B равен β, сторона AC равна a.

Проводим высоту AD к боковой стороне BC. Получается прямоугольный треугольник ABD, где ∠ADB прямой (90°).

Требуется найти высоту AD.

Проведем высоту BE из вершины треугольника к основанию AC.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная из вершины, является медианой и биссектрисой.

Следовательно, вершина треугольника B делится на два угла по β/2, а основание AC делится на два отрезка по a/2.

В прямоугольном треугольнике ABE известны катет AE (= a/2) и угол ∠ABE (= β/2).

Так как синусом угла в прямоугольном треугольнике является отношение противолежащего катета к гипотенузе, то получаем следующее:

sin(β/2) = AE : AB.

AB = AE : sin(β/2) = a/2 : sin(β/2).

В прямоугольном треугольнике ABD известны гипотенуза AB (нашли в предыдущем вычислении) и угол ∠ABD (= β).

Здесь также выразим искомую сторону AD через синус:

sinβ = AD : AB.

AD = AB · sinβ.

Вместо AB подставим полученное ранее выражение:

AD = sinβ · a/2 : sin(β/2).

Применим формулу синуса двойного угла:

Разложим sinβ по этой формуле:

AD =	a · 2sin(β/2)·cos(β/2)	= a · cos(β/2)
	2sin(β/2)

Дробь сократили на 2sin(β/2).

Как видно, высота, опущенная к боковой стороне, равна a · cos(β/2)